Le matrici hermitiane sono matrici quadrate complesse simmetriche rispetto alla loro autogiunzione. In altre parole, se $A$ è una matrice hermitiana, allora $A=A^H=(A^T)^{*}$, dove $A^H$ rappresenta la sua autocongiunzione, ovvero la trasposizione coniugata della matrice $A$.

Gli autovalori delle matrici hermitiane sono reali e sono distribuiti in modo deterministico, il che significa che una volta noti gli autovalori della matrice, la loro posizione relativa è determinata in modo univoco. In particolare, gli autovalori di una matrice hermitiana sono uniformemente distribuiti lungo l'asse reale. La distribuzione degli autovalori di una matrice Hermitiana segue una distribuzione di Poisson: $$ P(x) = a \cdot x^\alpha \cdot e^{-b\cdot x^\beta}$$ In altre parole, se si considera la distanza tra due autovalori consecutivi e si normalizza questa distanza con la media di tutte le distanze, si ottiene una distribuzione di probabilità che segue la legge di Poisson. Questa distribuzione di Poisson è una caratteristica universale dei sistemi fisici disordinati. In particolare, se si considerano matrici ermitiane di grandi dimensioni, le loro proprietà statistiche sono indipendenti dai dettagli della loro costruzione e dipendono solo dalla simmetria e dalla dimensione della matrice stessa.

Le matrici triangolari sono matrici in cui tutti gli elementi al di sopra o al di sotto della diagonale principale sono pari a zero; in altre parole, una matrice triangolare superiore ha tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale pari a zero, mentre una matrice triangolare inferiore ha tutti gli elementi al di sopra della diagonale principale pari a zero.

Gli autovalori di una matrice triangolare sono gli elementi sulla diagonale principale. In particolare, se una matrice è triangolare superiore, gli autovalori coincidono con gli elementi della diagonale principale, mentre se una matrice è triangolare inferiore, gli autovalori sono gli stessi, ma nella direzione opposta. Gli autovalori delle matrici triangolari sono distribuiti uniformemente lungo la diagonale principale. Per quanto riguarda la distribuzione esponenziale decrescente degli autovalori delle matrici triangolari, questo fenomeno è noto come "fenomeno di Wigner" ed è stato scoperto da Eugene Wigner nel 1951.

In generale, le matrici casuali hanno uno spettro di autovalori che segue una distribuzione statistica ben definita. Nel caso delle matrici triangolari, lo spettro segue una distribuzione esponenziale decrescente. Ciò significa che la densità di probabilità degli autovalori diminuisce rapidamente all'aumentare degli autovalori stessi. Il fenomeno di Wigner è stato ampiamente studiato in fisica, in particolare in relazione alle proprietà statistiche di atomi e nuclei. La distribuzione degli autovalori è data sempre dalla distribuzione di Poisson dove il parametro $\alpha \sim 0$.

Questo script Python è composto da una classe chiamata 'Matrix' che crea una matrice complessa hermitiana casuale di dimensione specificata dall'utente, e crea anche una matrice triangolare superiore o inferiore a partire dalla matrice hermitiana. In particolare, la matrice complessa hermitiana è generata come una matrice complessa casuale in cui le parti reale e immaginaria degli elementi sono selezionate da una distribuzione uniforme nell'intervallo $[-1, 1]$, e quindi la matrice viene resa hermitiana prendendo la parte reale della matrice sommata alla sua trasposta complessa coniugata divisa per $2$.

Il codice fornisce anche una funzione 'fit_and_plot_data' che prende in input un array di valori degli autovalori della matrice hermitiana e un array dei valori degli spazi tra gli autovalori della matrice triangolare superiore. La funzione poi plotta la distribuzione degli spazi normalizzati tra gli autovalori. La funzione utilizza la libreria 'Scipy' per eseguire la funzione 'curve_fit' per adattare una curva alla distribuzione degli spazi tra gli autovalori. La funzione di adattamento è definita come una distribuzione di Poisson generica, la cui forma specifica dipende dai parametri a, b, c e d passati alla funzione. Infine, la funzione fit_and_plot_data plotta un istogramma dei valori normalizzati degli spazi tra gli autovalori e sovrappone la curva di adattamento. La funzione di adattamento è specificata all'interno della funzione stessa.

Infine, il codice esegue la funzione fit_and_plot_data su una matrice hermitiana casuale e la matrice triangolare superiore o inferiore derivata dalla matrice hermitiana. La funzione viene eseguita di default 50 volte. Il codice plotta i risultati di ogni esecuzione sulla stessa figura, per confrontare le distribuzioni degli spazi tra gli autovalori delle diverse matrici.