Il modello di Bose-Hubbard è un modello teorico utilizzato nella fisica della materia condensata per descrivere il comportamento degli atomi ultrafreddi intrappolati in reticoli ottici. Il modello è stato proposto da originariamente da John Hubbard, mentre il termine 'Bose' si riferisce al fatto che questa particolare applicazione è composta da particelle bosoniche.

Il modello di Bose-Hubbard descrive un reticolo di buche di potenziale, ognuna delle quali può essere occupato da zero, uno o più atomi bosonici identici. Il modello considera due tipi di interazioni energetiche: l'energia cinetica degli atomi e le interazioni tra gli atomi nello stesso sito. L'energia cinetica è rappresentata dal parametro hopping, che determina la probabilità che un atomo si sposti da un sito a un sito vicino. L'energia di interazione è rappresentata dal parametro di interazione in sito, che determina il costo o il guadagno energetico di avere più atomi che occupano lo stesso sito.

Il modello di Bose-Hubbard è descritto dall'hamiltoniana:

dove ${\hat{b}}_i$ e ${\hat{b}}_i^{†}$ sono gli operatori di creazione e annichilazione bosonica nel sito $i$, ${\hat{n}}_i$ sono gli operatori numero-particella per ciascun sito, $J$ è il parametro di hopping, $U$ è il parametro di interazione tra le particelle per ogni sito e $\mu$ è il potenziale chimico che influisce sul numero totale di particelle nel modello. Il primo termine descrive il salto degli atomi tra siti vicini, il secondo termine descrive le interazioni in loco tra gli atomi e il terzo termine descrive il costo energetico della presenza degli atomi.

Il modello di Bose-Hubbard è stato utilizzato per studiare un'ampia gamma di fenomeni, tra cui la superfluidità, le fasi di isolamento di Mott e la fase di vetro di Bose. È stato anche utilizzato come quadro teorico per progettare e analizzare esperimenti che coinvolgono atomi ultrafreddi intrappolati in reticoli ottici. I diversi regimi del modello dipendono dai parametri, come ad esempio, quando la forza delle interazioni in sito $U$ è molto maggiore del parametro di salto $J$, il sistema si trova in una fase di isolamento di Mott, in cui gli atomi sono vincolati ai singoli siti e non possono muoversi facilmente. Al contrario, quando il parametro di salto $J$ è molto maggiore del parametro di interazione in sito $U$, gli atomi possono muoversi facilmente tra i siti e il sistema si trova in uno stato superfluido.

Tale modello ha una grande importanza nella realizzazione di tecnologie quantistiche, come ad esempio la simulazione quantistica e la computazione quantistica. Gli esperimenti con atomi ultrafreddi intrappolati in reticoli ottici stanno diventando sempre più precisi e sofisticati, e il modello di Bose-Hubbard continua ad essere uno strumento importante per comprendere e sviluppare queste tecnologie.

Lo script in questione è stato usato come sostegno ai calcoli della tesi di laurea. In particolare, ho assunto di avere due particelle in due buche di potenziale, in modo da avere i seguenti operatori: Il modello costruito è volto a dimostrare il passaggio di fase da isolante di Mott allo stato di superfluido e viceversa. I calcoli sono stati eseguiti variando il rapporto tra il parametro di hopping $J$ e il potenziale di interazione $U$. Una volta fissata l'interazione $U=1$ per semplicità e avendo definito il potenziale chimico come $\mu =U/2=1/2$, lo script va a calcolare il ground state del sistema per diversi valori di $J$. Teoricamente, il groundstate di tale sistema può essere composto da 9 diversi stati: $|00⟩$, $|01⟩$, $|02⟩$, $|10⟩$, $|11⟩$, $|12⟩$, $|20⟩$, $|2,1⟩$, $|2,2⟩$, dove il primo valore rappresenta il numero di particelle nella prima buca di potenziale e il secondo il numero di particelle nella seconda. Fisicamente però, solo 3 di loro sono possibili, ovvero quelli la cui somma delle particelle sia uguale a $2$, ovvero gli stati $|20⟩$, $|11⟩$$e|02⟩$. Quindi l'assunzione dei valori di $J$, $U$ e $\mu$ è stata scelta per rispettare questo vincolo.

La variazione di fase può essere verificata matematicamente guardando la fluttuazione del numero di particelle per ogni valore di $J/U$, in modo che: Per fare ciò, il codice definisce una funzione 'BoseHubbardHamiltonian(J, U, mu)' che prende come input tre parametri, il parametro di hopping $J$, la forza di interazione on-site $U$ e il potenziale chimico $\mu$, e restituisce l'Hamiltoniana di Bose-Hubbard per una catena di $2$ siti con $2$ bosoni. L'Hamiltoniana viene definita in termini degli operatori di creazione e distruzione e dell'operatore numero-particelle per ciascun sito.

Successivamente viene definita la funzione 'eigen_calculator(gs)' che prende il ground state come input e calcola la deviazione standard del numero di particelle per ogni sito usando l'operatore di conteggio delle particelle.

Il codice utilizza la libreria 'numpy' per le operazioni matematiche e la libreria 'tabulate' per la stampa della tabella.

Infine, viene definita la funzione 'print_details(gs_index, gs, delta)' che stampa lo stato fondamentale in un modo user-friendly. La funzione utilizza un dizionario per mappare gli indici degli autostati ai loro corrispondenti stati quantistici e costruisce una stringa per stampare lo stato fondamentale e l'ampiezza di probabilità per ogni stato. La funzione stampa anche la probabilità totale di trovare i bosoni nello stato fondamentale.

Per maggiori dettagli sull'aspetto teorico: Luca Soriani - "Ultracold atoms trapped in optical lattice"