L'oscillatore armonico quantistico è un modello matematico che descrive il comportamento di una particella che oscilla attorno ad un punto di equilibrio vincolata a muoversi lungo un asse con un potenziale armonico. Il sistema è descritto dall'hamiltoniana: $$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2$$ dove $m$ è la massa della particella e $\omega$ è la frequenza del moto armonico.

La soluzione dell'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico quantistico è nota ed è data dalle funzioni di Hermite, che rappresentano gli stati stazionari dell'oscillatore. Questi stati sono quantizzati e la loro energia è data dalla formula: $$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$$

dove $n$ è il numero quantico che identifica lo stato energetico del sistema, $\hslash$ è la costante di Planck ridotta, $H_n(x)$ sono i polinomi di Hermite di grado $n$. Gli autovalori del sistema sono le energie consentite della particella nel potenziale armonico, mentre le autofunzioni sono le funzioni d'onda che descrivono la distribuzione di probabilità della particella nel potenziale armonico.

L'oscillatore armonico quantistico ha diverse applicazioni in fisica, in particolare nella meccanica quantistica e nella teoria dei campi quantistici. Ad esempio, è usato per descrivere il comportamento di atomi legati e di molecole semplici, nonché per descrivere il comportamento di particelle subatomiche come gli elettroni in un campo magnetico. Questo è un modello matematico molto importante perché è uno dei pochi modelli di sistema fisico quantistico per cui è possibile trovare una soluzione analitica esatta dell'equazione di Schrödinger. Questo fa sì che l'oscillatore armonico quantistico sia uno dei modelli più studiati in meccanica quantistica.

. Il codice risolve il problema degli autovalori dell'oscillatore armonico quantistico $1$D, impostando $\hslash =\omega =1$ per semplicità. Per poter risolvere il problema si adotta la soluzione della discretizzazione: in teoria lo spazio è continuo, costituito da un numero infinito di punti. Purtroppo, il ragionamento non può essere applicato al livello pratico dove possiamo trattare solo un numero finito di punti. Per cui si vuole adottare uno step $dx$ molto piccolo, in modo da approssimare il meglio possibile il modello continuo. La discretizzazione produce una più semplice Hamiltoniana tridiagonale $H_{discr}$, dove nella diagonale pricipale troviamo i termini $-2+V(x_i)$ e nelle sub-diagonali troviamo $-1$.

La funzione 'quantum_harmonic_oscillatori prende in input il minimo e massimo valore dell'asse $x$, il passo di discretizzazione della griglia $dx$, e il numero di autovalori che si vogliono calcolare.

In primo luogo, viene calcolato l'intervallo dell'asse $x$, il suo valore medio, e il numero di passi all'interno dell'intervallo. Successivamente, viene creata una matrice del potenziale dell'oscillatore armonico quantistico e una matrice diagonale associata. La matrice diagonale è costituita dalla somma del potenziale e di una costante. Inoltre, viene creata una matrice sottodiagonale a tridiagonale con valori costanti, in modo da ottenere $H_{disc}$.

Il problema degli autovalori è risolto utilizzando la funzione 'eigh_tridiagonal' del pacchetto 'scipy.linalg'. Questa funzione restituisce gli autovalori e gli autovettori della matrice tridiagonale a partire dalle sue tre diagonali.

Infine, viene utilizzata la funzione 'print_results' per stampare una tabella dei valori degli autovalori attesi, quelli calcolati, e la differenza percentuale tra i due. Inoltre, viene generato un grafico che mostra gli autovalori e gli autovettori dell'oscillatore armonico quantistico.